流体力学课后*题答案(孔珑编)中国电力出版社

发布于:2021-10-22 11:38:26

第一章
1-4 解: 系统内水的总体积 V ? 8m3 ,水的体积膨胀系数 ?V ? 0.005 1/℃。 水温升高 ?T ? 50 ℃时,水的体积膨胀量
?V ? V ??V ? ?T ? 8 ? 0.005 ? 50 ? 2m3 。

答:略 1-6 解:油的运动粘度? ? 4.28 ?10?7 m2 ? s?1 ,密度 ? ? 678kg ? m?3 ,则油的动力 粘度 ? ? ?? ? 678 ? 4.28 ?10?7 ? 2.9 ?10?4 Pa ? s 。 答:略 1-7 解:水的动力粘度 ? ? 1.3?10?3 Pa ? s ,密度 ? ? 999.4kg ? m?3 ,则水的运动 粘度? ? 答:略 1-9 解:如图示:在锥体表面距离定点 x 处取一宽度为 dx 的微圆环, 则在 x 处 的微圆环的半径 r ? x sin ? 。 由牛顿粘 性定律可得,微圆环所受到的摩擦 阻力
dF ? ? ? dA ? U ? r 2??? sin 2 ? 2 ? ? ? 2? rdx ? ? x dx , h ? ?

? 1.3 ?10?3 ? ? 1.3 ?10?6 m2 ? s ?1 。 ? 999.4

微圆环旋转时所需的微圆力矩为 dM ? r ? dF ?? 所以锥体旋转时所需的总力矩
M ??
H cos? 0

2??? sin 3 ?

?

x3dx

dM ??

H cos? 0

2??? sin ? 3 2??? sin ? ? x 4 ? cos? x dx ? ?4? ? ? ? ?0
3 3

H

?

2??? sin 3 ?

?

H4 ??? H 4 tan 3 ? ? 4cos 4 ? 2? cos ?

答:略 1-10 解:设轴承内轴旋转角速度为 ? ,所以由牛顿粘性定律可得,内轴表
D ?? U ?? b? D2 面所受的摩擦阻力 F ? ? A ? ?? Db 2 ? , h ? 2?

内轴旋转的摩擦力矩 M ? F

D ?? b? D3 ? 2 4?

克服摩擦需要消耗的功率 P ? M ? ? 所以内轴的圆周角速度 ? ? 所以内轴转速 n ? 答:略 1-13 解:润滑油的动力粘度 ? ? ?? , 活塞表面所受的摩擦阻力 F ? ? A 所以活塞运动所消耗的功率

?? b? 2 D3 4?

4 P? 4 ? 50.7 ? 0.8 ?10?3 ? ? 9.37rad ? s ?1 3 3 ?? bD 0.245 ? 3.14 ? 0.3 ? 0.2

60? 60 ? 9.372 ? ? 89.50rpm 2? 2 ? 3.14

U V 2?? dLV , ? ?? dL ? (D ? d ) h D?d 2

P ? FV ?

2?? dLV 2 2??? dLV 2 ? D?d D?d

?

2 ? 3.14 ? 920 ? 0.9144 ?10?4 ?152.4 ?10?3 ? 30.48 ?10?2 ? 62 ? 4.42KW (152.6 ? 152.4) ?10?3

答:略

第二章
2-1

流体静力学

解:在图中 1-2 等压面处列*衡 方程:
P 1 ? P A, P 2 ?P B ? ?Hg gh ,

因为 P 1 ? P 2, 所以 PA ? PB ? ?Hg gh , 所以
h? PA ? PB 2.7 ?104 ? (?2.9 ?104 ) ? ? 0.420m ?Hg g 13.6 ?103 ? 9.81

答:略

2-2 解:如图示,分别在等压面 1-2,3-4 处列*衡方程
P 1 ?P 3 ?P air1 ? ?H2O gh 1,
P2 ? P4 ? P air2 ? ?H2O gh2

因为 P 1 ?P 2 ? ?煤气gH ,
P air1 ? P air2 ? ?air gH

所以
?煤气 ?
P - P ? ?H2O g (h1 - h2 ) ?air gH ? ? H 2O g (h1 - h2 ) P h -h 1-P 2 ? air1 air2 = =?air +? H 2O 1 2 gH gH gH H

( 100 ? 115) ?10?3 = 1.28+ =0.53kg ? m-3 20

答:略 2-3 解:如图示,在 1-2 等压面处列* 衡方程
P 1 ?P A ? ?H2O gh 1
P2 ? P a ? ?Hg gh2

因为 P 1 ? P 2, 所以, PA ? ?H2O gh1 =Pa ? ?Hg gh2 , 所以 PA =Pa ? ?Hg gh2 -?H2O gh1
=101325+13.6 ?103 ? 9.81? 900 ?10?3 -103 ? 9.81? 800 ?10?3 =213.6KPa

答:略 2-5 解:如图示,设 A 点距 1-2 等压面的距离为 h1 , B 点距 3-4 等压面的距离为
h2 ,1-2 等压面距基准面

的距离为 h3 , 在等压面 1-2 处列*衡方程, P 1 ?P 2 ?P A ? ?H O gh 1
2

在等压面 3-4 处列*衡方程, P3 ? P4 ? PB -?H O gh2
2

因为 P2 ? P3 ? ?Hg gh ,所以 PA ? ?H O gh1 ? PB -?H O gh2 ? ?Hg gh ,
2 2

故 ?Hg gh=PA -PB ? ?H O g(h1 +h2 ) ,
2

又因为, h1 ? 548 ?10?2 - h3 , h2 ? h ? h3 -304 ?10?2 ,所以
h1 ? h2 ? h ? (548-304) ?10-2 ? h ? 0.244

所以, ?Hg gh=PA -PB ? ?H O g (h ? 2.44) ,所以
2

h?

PA - PB ? ?H2O g ? 2.44 (2.744 ? 1.944) ?105+ 103 ? 9.81? 2.44 ? =0.8409m ( ?Hg - ?H2O ) g ( 13.6 -1 ) ?103 ? 9.81

答:略 2-7 解 : 有 压 力 引 起 的 压 强
PF =

?

F d2

=

4F 4 ? 5788 = =46059.4Pa 2 ? d 3.14 ? 0.42

4

如图示,在等压面 1-2 处列*衡方 程
P 1 ?P a ?P F ? ?oi gh 1 ? ?H2O gh2 ,

P 2 ?P a ? ?Hg gH

因为 P 1 ? P 2 ,所以,
P a ?P F ? ?oi gh 1 ? ?H2O gh2 =P a ? ?Hg gH ,

所以
H= PF ? ?oi gh1 ? ?H2O gh2

?Hg g

=

46059.4+800 ? 9.81? 30 ?10-2 ? 103 ? 9.81? 50 ?10-2 =0.399m 13.6 ?103 ? 9.81

答:略

2-10 解:如图示, 1-1 , 2-2 , 3-3 分别为等压面, 设 2-2 面距 A-B 面的距离为 H , B 点到 3-3 面的距离为 hB 在 1-1 等压面处列等压面方程
P 1 ? pA +?oi g (h 1 ? H) ? P 2 ? ?Hg gh 1

因为 P2 ? p 3-?oi g (h B H ),所以 pA ? ?oi g (h1 ? H ) ? p3 -?oi g (hB -H ) ? ?Hg gh1 ,即
pA ? ?oi g (h1 ? h B) ? p 3? ? Hgh g
1

在 3-3 等 压 面 处 列 等 压 面 方 程 得 P3 ? pB +?oi g (hB - h2 )+?Hg gh2 , 所 以
pA -p B ? (? H g -?oi ) g h( ? ) 1 h 2? (13. ? 63 10 -? 830)? 9. 81 ? ( ? 60 - 2 51) 10 a =139. 05KP

答:略

2-14 解:活塞的受力分析如图示, 所以
P?

? D2
4

- Pe ?

? ( D2 - d 2 )
4

- F ?10% ? F



P ? Pe ?

2 2 D2 - d 2 4 ? (10%+1) ? F 4 ?1.1? 7848 4 10 ? 3 ? =9.81 ? 10 ? + =1188.43KPa 2 2 2 D ?D 10 3.14 ? (10 ?10?2 )2

答:略

2-15 解:当中间隔板受到的液体 总压力为零时,隔板两侧的 叶位高度肯定相等,且等于
h 。在加速度

a 和 g 的作用

下,容器中液体处于相对静 止状态,隔板两侧液体的等压面与水*面的夹角分别为 ?1 、? 2 ,所以
tan ?1 ? ? a ? tan ? 2 , g
h ? h1 h2 ? h h l ?hl h ? h1 h ?h ,即 ,所以 h ? 2 1 1 2 ? ? tan ? 2 ? ? 2 l1 l2 l1 l2 l1 ? l2 2 2

因为 tan ?1 ? ?

h2l1 ? h1l2 ? h1 h ? h1 l1 ? l2 h l ?hl a 因为 ? ? ?2 ,所以 a ? 2 g ? 2g 2 1 1 1 l1 l1 (l1 ? l2 ) g l1

答:略

2-17 解: (1)由题意得单位质量力
f x =0 , f y =0 , f z ? - g ? a

由于容器中水处于相对静止状态,所

以压强差微分方程为
dp ? ? ( f xdx ? f y dy ? f z dz) ? ? (a - g )dz

当 z ? 0 , p ? pa ,当 z ? -h , p ? p ,对方程两边同时积分得

?

p

pa

dp ? ? ? (a - g )dz ,所以 p - pa ? -? h(a - g ) ,
0

-h

所以 p ? pa - ?h(a - g) ? 101325-103 ?1.5 ? (4.9-9.81) ? 108.69KPa (2)若 p ? pa - ?h(a - g) ? Pa ,所以 a - g ? 0 ,即 a ? g ? 9.81m ? s-2 (3)若 p ? pa - ? h(a - g ) ? 0 ,则 ? h(a - g ) ? pa , 即a ?
pa 101325 ?g? 3 ? 9.81=77.36m ? s-2 ?h 10 ?1.5

答:略

作业存在的主要问题: ? 答题格式不规范,必须的公式、图表以及一些符号说明没有在答 案中体现。 ? 个别学生只列公式,不计算,直接将题后答案搬上去。甚至有同 学将一道题的答案写在了两道题的结果上。 ? 存在较为严重的抄袭现象。 ? 书中答案未必正确,不要迷信书中结果。

流体力学作业
2-19 解:如图所示,建立坐标系,设容器 的旋转速度为 ? ,则在 z ? 0 , r ? r0 容 器 开 口 处 液 面 的 表 压
p ? ? g(

第二章 2

? 2r 2
2g

? z) ? C ?

?? 2 r02
2

?C

又因为在顶盖开口处 z ? 0 , r ? r0 的表压 p ? ? gh 。所以有
p?

?? 2 r02
2

? C ? ? gh ,所以 C ? ? gh ?

?? 2 r02
2

,所以在 z ? 0 处容器液面的

压强公式为 p ? ? gh ?

?? 2 (r 2 ? r02 )
2



在容器顶部距中心 r 处取微圆环 dr ,则微圆环所受到的压力为
dF ? pdA ? 2? rpdr ? 2? r ( ? gh ?

?? 2 (r 2 ? r02 )
2

)dr

所以整个容器顶盖受到的总压力为
F ? ? dF ? ? 2? r ( ? gh ?
? 2? [( ? gh ?
d 2 0 d 2 0

?? 2 (r 2 ? r02 )
2

)dr ? 2? [ ? ( ? gh ?
)

d 2 0

?? 2 r02
2
?

)rdr ? ?

d 2 0

?? 2 r 3
2

dr ]

?? 2 r02 r 2
2 ) 2

] ? 2? [

d 2 0

?? 2 r 4
8

] ? ( ? gh ?

d 2 0

?? 2 r02 ? d 2
2 4

??? 2 d 4
64

当 F ? 0 时,即 ( ? gh ?

?? 2 r02 ? d 2
2 ) 4

?

??? 2 d 4
64

?0

所以, ?? d 2? 2 (r02 ? 故? ?

d2 ) ? 2?? ghd 2 , 8

2 gh 2 ? 9.81? 0.5 ? ? 44.744rad ? s ?1 , 2 2 d 1.2 r02 ? 0.432 ? 8 8

所以容器的转速为 n ?

60? 60 ? 44.744 ? ? 427.27rpm 2? 2?

2-22 解: 设闸门宽为 b ? 1.2m ,长为 L1 ? 0.9m 。 闸门和重物共重 10000N,重心距轴 A 的水*间距为 L ? 0.3m 。 (1) 求液体作用在闸门上的总压力 F
F ? ? ghc A ? ? g ( H ? L1 sin ? ? L1 L sin ? )bL1 ? ? g ( H ? 1 sin ? )bL1 2 2

(2)总压力 F 的作用点 xD
3 bL1 I L 2L xD ? xC ? Cy ? 1 ? 12 ? 1 xC A 2 L1 bL 3 1 2

(3)所以作用在 A 点处的力矩为 M ? FxD ? 当闸门刚好打开时,有 M ? FG L ,即 所以,
2? g ( H ?

2? g ( H ?

L1 2 sin ? )bL1 2 3

L1 2 sin ? )bL1 2 ? FG L 3

H?

3FG L L 3 ?10000 ? 0.3 0.9 ? 1 sin ? ? ? sin 60 ? 0.862m 2 2 2 ? gbL1 2 2 ?1000 ? 9.81?1.2 ? 0.9 2

2-28 解: 如图示, 作用在*肭蛱迳系难骨孔笥 对称,所以总压力的水*分力为零。 根 据压力体的概念, *肭蛱宓难沽μ迦 图阴影部分所示。垂直分力方向向上, 其大小为
d d 1 4? d 3 F ? ? gV压力体 ? ? g (V圆柱 ? V半球 ) ? ? g[? ( ) 2 ? ( )] 2 2 2 3 2

?

? g? d 3
24

?

103 ? 9.81? 3.14 ? 23 ? 10.27KN 24

2-33 解:如图所示:柱形体在液体中所受的水*分力合力为零,仅受竖直 向上的浮力作用。 浸没在上层流体( ?1 )中的柱体受到的浮力 F1 ? ?1 gV1 ; 浸没在上层流体( ?2 )中的柱体受到的浮力 F2 ? ?2 gV2 ,所以柱形体所 受到的合力 F ? F1 ? F2 ? ?1gV1 ? ?2 gV2 ? g (?1V1 ? ?2V2 ) ,方向竖直向上。

2-20 解:如图所示,建立坐标系,当系 统静止时,圆筒内液面距底面 h1 , 圆管内液面高度为 H1 ,当系统转动 时 ,圆筒内液面高度下降 h ,圆管 内液面上升 H ,根据流体质量守恒定律可知,
d12 h H? 2, 2d2

? d12
4

h?2

? d 22
4

H ,即

当系统静止时,活塞底面处液面对活塞的压力等于活塞的重力,即
mg ? ? g ( H1 ? h1 )

? d12
4


? 2r 2
2g ? z) ? C ,

当系统旋转时,液体压强的分布公式为 p ? ? g ( 当 r ? R , z ? H1 ? H ? h1 ? h 时, p ? 0 , 即 0 ? ? g(
C ? ?? g (

? 2 R2
2g

? ( H1 ? H ? h1 ? h)) ? C ,可得

? 2 R2
2g

? H1 ? H ? h1 ? h) ,所以液体表压的分布公式为

p ? ? g(

? 2r 2
2g

? z) ? ? g (

? 2 R2
2g

? H1 ? H ? h1 ? h) ? ? g[

? 2 (r 2 ? R 2 )
2g

? z ? H1 ? H ? h1 ? h]

在活塞底面半径为 r 处取微元环 dr ,则作用在活塞表面( z ? 0 )的总 力为
F ? ? dF ? ? p2? rdr ? 2?? g ? [ ? 2?? g[? 2
0 d1 d1 2 0 d1 2 0 d1 2 0

? 2 (r 2 ? R 2 )
2g

? H1 ? H ? h1 ? h]rdr

? 2r 3
2g

dr ? ? 2 ( H1 ? H ? h1 ? h ?
0

d1

? 2 R2
2g
)

)rdr ]
d1 2 0

? 2??

?r
8

d1 2 4 2 0

? 2?? g[( H1 ? H ? h1 ? h ?

? 2 R2 r 2
2g 2

]

?

??? 2 d14
64

?

?? gd12
4

( H1 ? H ? h1 ? h ?

? 2 R2
2g

)

因为作用在活塞底面上的总压力 F 等于活塞的总重量,即 F ? mg ,所 以
??? 2 d14
64
16 g (

?

?? gd12
4

( H1 ? H ? h1 ? h ?

? 2 R2
2g

) ? ? g ( H1 ? h1 )

? d12
4

? mg ,所以

? 2 R2
2g d12

? H ? h)

? ?
2

n? d12 h n 2? 2 (8R 2 ? d12 ) ,因为 H ? 2 , ? ? ,所以 h ? 30 d2 2d2 302 ?16 g (1 ? 1 2 ) 2d 2

2-25 解: 设闸门宽为 b ,则左侧水体作用在 闸门上的总压力为

F1 ? ? ghc1 A1 ?

2 ? gbH 2 ,其作用点位置 3
b(

H 3 H3 3 ) b( ) sin 60 sin 60 I Cy1 H H 13H 12 12 xD1 ? xC1 ? ? ? ? ? ? H bH H bH xC1 A1 2 2 18 2 sin 60 2 sin 60

右侧水体作用在闸门上的总压力为
F2 ? ? ghc 2 A2 ? ? g h h 2 ? gbh 2 b ? 2sin 60 sin 60 3

其作用点位置
h 3 ) sin 60 I h 5 3h 12 ? xC 2 ? Cy 2 ? ? ? h h xC 2 A2 2sin 60 9 b 2sin 60 sin 60 b(

xD 2

当闸门自动开启时,力 F1 和 F2 对 O 点的力矩相等,即
F1 ( H h ? x ? xD1 ) ? F2 ( x ? ? xD 2 ) ,所以 sin 60 sin 60
F1 ( H h ? xD1 ) ? F2 ( xD 2 ? ) sin 60 sin 60 F1 ? F2

x?

2 ? gbH 2 H 13H 2 ? gbh 2 5 3h h ( ? )? ( ? ) 3 sin 60 18 3 9 sin 60 ? 2 ? gbH 2 2 ? gbh 2 ? 3 3

?

H 3(

2 3 13 5 3 2 3 ? ) ? h3 ( ? ) 3 18 9 3 H 2 ? h2 2 3 13 5 3 2 3 ? ) ? 0.43 ? ( ? ) 3 18 9 3 22 ? 0.42

?

23 ? (

? 0.83m

2-30 解: 如图示 , 用压流体求解竖直方向上的静 水总压力
F ? ? g (V45674 ? V7017 ? V4324 )

2-32 解:设闸门宽为 L1 ? 1.2m ,长为 L2 ? 0.9m 。闸门和重物共重 10000N, 重心距轴 A 的水*间距为 L ? 0.3m 。以 AB 板为 X 轴建立坐标系,距 A 点 X 处取一微元 dx,则微元体的面积为 L1dx,微元体处的压强为
p ? pa ? ? g (H ? L2 sin ? ? x sin ? )

所以微元体所受到的压力为 dF ? pL1dx ? ( pa ? ? g (H ? L2 sin ? ? x sin ? ))L1dx 该力对 A 点的力矩 dM ? xdF ? ( pa ? ? g (H ? L2 sin ? ? x sin ? ))L1xdx 所以,整个水施加在闸门上的总力矩为
M ? ? dM ? ? ( pa ? ? g ( H ? L2 sin ? ? x sin ? )) L1 xdx
0 0 L2 L2

? L1 ? ( pa ? ? g ( H ? L2 sin ? ) ? ? gx sin ? ) xdx
0

L2

? L1 ? [ pa ? ? g ( H ? L2 sin ? )]xdx ? L1 ? ? gx 2 sin ? dx
0 0

L2

L2

x2 ? [ pa ? ? g ( H ? L2 sin ? )] L1 2

L2

0

x3 ? L1 ? g sin ? 3

L2

0

? [ pa ? ? g ( H ? L2 sin ? )]L1

L2 L3 2 ? L1? g sin ? 2 2 3

若闸门刚好能打开,则 M ? GL
L2 L3 2 所以 [ pa ? ? g ( H ? L2 sin ? )]L1 ? L1? g sin ? 2 ? GL 2 3

L3 L3 2 GL ? L1? g sin ? 2(GL ? L1? g sin ? 2 ) 3 ?p ? 3 ?p ? g ( H ? L2 sin ? ) ? a a 2 L2 L L 1 2 L1 2 2
2(GL ? L1 ? g sin ? H ? L2 sin ? ? L1 L2 2 L3 2 ) 3 ?p

a

?g
0.93 ) 3 ? 101325

2(10000 ? 0.3 ? 1.2 ? 1000 ? 9.81? sin 60 ? ? 0.9 ? sin 60 ? ? 2(10000 ? 0.3 ? 0.9 ?1000 ? 9.81? sin 60 ? ? 1.2 ? sin 60 ? ? 0.9 ?1.22 1000 ? 9.81 1.2 ? 0.92 1000 ? 9.81

1.23 ) 3 ? 101325

第三章
3-1 解:流场的速度分布为 ? ? x2 yi ? 3 y j ? 2z 2 k (1) 流动属于三维流动
2 2 dvx ?vx ?vx ?vx ?vx ?( x 2 y) 2 ?( x y) 2 ?( x y ) (2) ax ? ? ? vx ? vy ? vz ?x y ? 3y ? 2z dt ?t ?x ?y ?z ?x ?y ?z

? 2x3 y 2 ? 3x2 y

同理可得:
ay ? dvy dt ? ?vy ?t ? vx ?vy ?x ? vy ?vy ?y ? vz ?vy ?z ? x2 y ?(?3 y) ?(?3 y) ?(?3 y) ? 3y ? 2z 2 ? 9y ?x ?y ?z

2 2 dvz ?vz ?vz ?vz ?vz ?(2 z 2 ) 2 ?(2 z ) 2 ?(2 z ) az ? ? ? vx ? vy ? vz ?x y ? 3y ? 2z ? 8z 3 dt ?t ?x ?y ?z ?x ?y ?z

所以, ax (3,1,2) ? 27 , ay (3,1,2) ? 9 , az (3,1,2) ? 64 答: 3-2 解:(1) 该流动属于三维流动, (2) 流场的速度分布为? ? (4x3 ? 2 y ? xy)i ? (3x ? y3 ? z)j ,
ax ? dvx ?vx ?v ?v ?v ? ? vx x ? v y x ? vz x dt ?t ?x ?y ?z

? (4 x3 ? 2 y ? xy)

?(4 x3 ? 2 y ? xy) ?(4 x3 ? 2 y ? xy) ? (3x ? y 3 ? z ) ?x ?y

? (4x3 ? 2 y ? xy)(12x2 ? y) ? (3x ? y3 ? z)(2 ? x)
ay ? dvy dt ? ?vy ?t ? vx ?vy ?x ? vy ?v y ?y ? vz ?v y ?z

? (4 x3 ? 2 y ? xy)

?(3x ? y 3 ? z ) ?(3x ? y 3 ? z ) ? (3x ? y 3 ? z ) ?x ?y

? 3(4x3 ? 2 y ? xy) ? 3 y 2 (3x ? y3 ? z)

所以, ax (2,2,3) ? 2004 , a y (2,2,3) ? 108 3-7 解:*面流动的速度分布为 v ? 程为
dx dy ,则 ? vx v y
dx dy ? , ??y ?x 2? ( x 2 ? y 2 ) 2? ( x 2 ? y 2 )

??y ?x i? j ,则其流线方 2 2 2? ( x ? y ) 2? ( x 2 ? y 2 )

所以,

?x ??y dx ? dy 2 2 2? ( x ? y ) 2? ( x 2 ? y 2 )
x2 ? y 2 ? constant , 2

即: xdx ? ydy ? 0 ,方程两边积分得: 所以流线方程为 x2 ? y2 ? constant 3-12

d ? 0.02m , 解: 由题意知: d1 ? 0.01m , d2 ? 0.015m , v1 ? 0.3m/s , v2 ? 0.6m/s ,

根据质量流量守恒定律知, Q ? Q1 ? Q2 ,所以
Q?

?
4

2 (d12v1 ? d 2 v2 ) ?

?
4

(0.012 ? 0.3 ? 0.0152 ? 0.6) ? 1.296 ?10 ?4 m 3/s
Q d2 1.296 ?10?4

所以总管中的流速 v ?

?

?

?

? 0.4125m/s

4

4

? 0.022

3-30 解:取*板进、 出口,*板上面、 流体上表面内 的流体为控制 体,如图所示。 由题意知,当 y 从 0 变化到 h 时,流速从 0 线性的增大到 v? ,所以速 度梯度为
v? y。 设出口截面 2-2 上面高度为 H, 在 2-2 截面处的 y 处 h v? y ,微元体的流体质量流量为 h

取微元体 dy ,则微元体的流速为
?
v? ybdy 。 h

由连续方程知,
v? ? b ? h ? v? ? b ? H ? ?
h

0

v? bv bydy ? v? ? b ? H ? ? h h
h

?

h

0

ydy

bv? y 2 ? v? ? b ? H ? ? h 2

? v? ? b ? H ?
0

hbv? 2

所以可得: H ? 。 设*板对作用在流体上的力为 F ' ,由动量定理知
F ' ? v? Hb? ? v? ? ? (
0 h

h 2

v? y) b? dy ? v? hb? ? v? h

2

2 v? ? v Hb? ? b? 2 h 2 ?

?

h

0

2 y 2 dy ? v? hb?

v2 y3 2 ? v Hb? ? b? ? ? v? hb? 2 h 3 0
2 ?

h

?

2 ? bhv?

2

?

2 ? bhv?

3

2 ? ? bhv?

??

2 ? bhv?

6
' 2 ?bhv?

根据力与反作用力的关系得,流体作用在*板上的力 F ? F ? 方向向右。

6



3-31 解:取泵和管的进、出口以及泵管内的体积为控制体,设系统对水的 作用力为 F ' ,由动力定理得: , F ' ? qv ? (v2 ? v1 ) ? 0.08?103 ? (12 ? 0.5) ? 920N (方向向左) 则水对船的作用力 F ? ?F ' ? ?920N (负号表示作用力方向与流速方向 相反)

3-32 解:取进口表面 1-1、出 口表面 2-2 和渐缩弯管内 表面内的体积为控制体, 建立坐标系,如图所示。 由质量守恒定律可知:

? d12
4

v1 ?

? d 22
4

v2 ,所以

v2 ? (

d1 2 15 ) v1 ? ( )2 ? 2.5 ? 10m ? s ?1 , d2 7.5

在进口 1-1 和出口 2-2 表面列伯努利方程,忽略两截面的高度影响。
pe1 ?

? v12
2

? pe 2 ?

2 ? v2

2

,所以
? 6.86 ?104 ? 103 ? (2.52 ? 102 ) ? 21725Pa 2

pe 2 ? pe1 ?

2 ? (v12 ? v2 )

2

设支撑管对流体的水*和竖直方向上的作用力分别为 Fx 、Fy ,由动量 定理得:
Fx ? pe1 Fy ? pe 2

? d12
4

?

? d12
4

v1 ? (0 ? v1 ) v2 ? (v2 ? 0)

? d 22
4

?

? d 22
4

所以
Fx ?

? d12
4

v1? (0 ? v1 ) ? pe1

? d12
4

??

? d12
4

( ? v12 ? pe1 )

??

? ? 0.152
4

(103 ? 2.52 ? 6.86 ?104 ) ? ?1322.71N

Fy ? ?

? d 22
4

v2 ? (v2 ? 0) ? pe 2

? d 22
4

?

? d 22
4

2 ( ? v2 ? pe 2 )

? ? 0.0752
4

(103 ?102 ? 21725) ? 537.76N

所以 F ? Fx2 ? Fy2 ? (?1322.71)2 ? 537.762 ? 1427.75N 力 F 与水*线之间的夹角 ? ? arctan
Fy Fx ? arctan( 537.76 ) =158° ?1322.71

3-37 解:取射流的自由表面、*板壁面和虚线内的圆柱面所包围的体积为 控制体。如图所示,建立坐标系。设支撑*板所需的力为 F ,在*板 壁面处流体的速度为 0,由动量定理得:
F??

?d2
4

v0 (0 ? v0 ) ? 0.83 ?10 ?
3

? ? 0.052
4

? 20 ? (0 ? 20) ? ?651.88 N (负号表示

方向与流速方向相反) 。

3-40 解:喷嘴处的出口速度 v ? 设转速为 n , 则
qv 5.6 ?10?4 ? ? 3.011m ? s ?1 ?4 2 A 2 ? 0.93 ?10
?8 3 1 2 . 6 p r m

2? n 3 0n i sv 3 0 ?0 3 1 .n i s 4 5 ? ? r ? vn i s ?, ? 即n ? 60 ?r ? ?2 51 0 ? 2? n 2 ? ? ? 81.326 ? ? 8.516s ?1 。 60 60

?2

所以角速度为 ? ?

取洒水器转臂壁面和两喷嘴出口截面内的体积为控制体积。 圆柱坐标 系固连于洒水器,OZ 轴垂直相外,切向与相对速度同向。由于洒水 器左右对称,所以其相对速度 v 的径向分量 vn 对转轴的力矩为零。只 有其周向分量 vr 对转轴存在力矩。所以由动量矩定理可得:
M z ? ?qv rvr ? ?qv rv sin 45 ? 1000 ? 5.6 ?10?4 ? 0.25? 3.011? sin 45 ? 0.298N ? m

3-42 解:水的流速 v ?
4qv 4 ? 0.125 ? ? 4m ? s ?1 ; 2 2 ?d ? ? 0.2

第三章中有关动量矩的计算中, 特别是计算旋转坐标系的动量矩的过 程中,一定要牢记:单位质量流体的动量矩? ? r ? v ,即:动量矩矢量 是半径矢量与单位质量流体的动量矢量的向量积。 一定要牢记先后顺 序,次序颠倒,会影响结果的正负性(结果的方向性) 。

第四章 4-1 解:略 4-2 解:要使两者流动相似,必须保证弗劳德数相等,即符合重力相似准则。 (1)模型的堰顶水头 h' ? kl h ? (2) 因为 Fr ? Fr' ,所以,
3 ? 0.15m 20
1

v ( gl ) 2

?

v'
1

, kv ?

( gl ' ) 2

v' l' 1 1 1 ? ( )2 ? ( )2 v l 20

' ' qv qv 0.19 2 ? 339.88m3 ? s ?1 因为 kqv ? ? kl kv , 所以原型上的流量 qv ? 2 ? 1 kl kv qv 1 1 ( )2 ( ) 2 20 20

(3)根据压力相似准则,其欧拉数也相等,即:

p p' ' ? Eu ? Eu ? ?v2 ? 'v'2

?v2 1 1 所以 p ? p ' '2 ? p ' 2 ? ?1960 ? ?39200Pa 1 ?v kv
'

20

4-3 解:要保持模型和原物之间的流动相似,其雷诺数必然相等,即:
dV

V ' d? ' ? Re ? Re ? ' ,所以 ? ' ? ? V d?
'

d 'V '

V' ' d ' ?' qv d '2 V ' d '2 d? ' qv 因为 ? 4 2 ? 2 ? 2 ' ,所以 qv' ? d ? qv ? d d V d d? V 4

? d '2

(1)当模型中的流体为 20℃的水,查表得 ? ? 1.006 ?10?6 m2 ? s-1
' qv ?

d ' ?' 50 1.006 ?10?6 qv ? ? ? 0.12 ? 7.545 ?10?4 m3 ? s -1 ?5 d ? 200 4.0 ?10

(2)当模型中的流体为 20℃的空气,查表得? ? 15.06 ?10?6 m2 ? s-1
' qv ?

d ' ?' 50 15.06 ?10?6 qv ? ? ? 0.12 ? 1.130 ?10?2 m3 ? s-1 ?5 d ? 200 4.0 ?10

4-7 解: (1)速度比例尺 kv ?
45 汽车在运动过程中主要受粘性力作 ? 1.5 , 108 ?1000 3600

用,因此要保证流动相似,必须保证雷诺数相等,即:
hu

h' 1 hu h 1.5 ? Re ? Re ? ,所以 h ? ' ? ? ? 1m ,长度比例尺 kl ? ? 。 ? ? u kv 1.5 h kv
'
'

h 'u '

U' ' ' F h' ? AU h ? k 2 ? k ? k ?1 ? k ? k ? kv ? 1 , (2) ? 所以原型在最大行驶速 l v l v l ' U F AUh k v ?A h
'

? A'

度时的风阻 F ' ? F ? 1500N

4-8 解: (1)在流动过程中,粘性力起主要作用,所以要保持流动相似,必须 保证两者的雷诺数相等,即
du
d? ' 1 ?' 1 1.007 ?10?6 ? 20 ? 15.49m ? s ?1 ? Re ? Re ? ' ,所以 u ? u ' ? u ?5 1 d? kl ? 1.3 ?10 ? ? 10
'

d 'u '

'

(2) 由 欧 拉 数 相 等 可 知 :
?p ? 2v ? ' p ? ? ? L ? ' v' 2 L ?'
2

?p ?p' ' ? Eu ? Eu ? ?v2 ? 'v'2

, 所 以

2 v ' L1 . ? 8 6 2 0 1 1 0 0 0 ?'p ? ? ? ? 3 . 1 0 7 P a ' 2 ' 2 v L9 9? 8 1 5 . 4 9 1 0 0 . 1

4-12 解:因为流量 qv 与管径 d 、动力粘度 ? 、压力梯度 瑞利法表示流量为 qv ? kd a ? a (
1 2

?p 有关,所以可用 L

?p a3 ) , L

用基本量纲表示方程中各物理量的量纲,则有:
L3T ?1 ? La1 ( ML?1T ?1 )a2 ( ML?1T ?2 a3 ) L

根据量纲一致性原则,可得: 对 L: 对 T: 对 M:
3 ? a1 ? a2 ? 2a3

?1 ? ?a2 ? 2a3
0 ? a2 ? a3

联立求解可得: a1 ? 4 , a2 ? ?1 , a3 ? 1

所以 qv ? kd 4 ? ?1 4-14:

?p d 4 ?p ,其中 k 为系数。 ?k L ?L

解:小球直径 d 、速度 v 、流体密度 ? 三种量的量纲组成的行列式值
? 1 1 ?3 ? ? 为? ? 0 ?1 0 ? ? ?1 ? 0 ,所以选取小球直径 d 、速度 v 、流体密度 ? 三种 ?0 0 1 ? ? ?

量为基本量, 根据题意可得阻力的物理方程为 F (FD , d , v, ?, ?) ? 0 ,所以 根据 ? 定理,用基本量表示的零量纲量为:
?1 ?
F ? , ? 2 ? a2 b2 c2 。用基本量纲表示方程中的各物理量: c1 d v ? d v ?
D a1 b1

M ? LT ?2 ? La1 ( LT ?1 )b1 (ML?3 )c1 ML?1T ?1 ? La2 ( LT ?1 )b2 (ML?3 )c2

根据量纲一致性原则可得:
?1 ? c1 ?1 ? c2 ? ? ?1 ? a1 ? b1 ? 3c1 , ??1 ? a2 ? b2 ? 3c2 , ??1 ? ?b ? ?2 ? ?b 2 1 ? ? ? a1 ? 2 求解方程组得: ? ?b1 ? 2 , ?c ? 1 ? 1 ? a2 ? 1 ? ?b2 ? 1 , ?c ? 1 ? 2

所以零量纲量为 ?1 ?

F ? 1 ? ,?2 ? ,所以小球在不可压缩粘性 d v ? dv ? Re
D 2 2

流体中运动的阻力 FD ? ?1d 2v2 ? ? f (Re)d 2v2 ? , 或者可写为 FD ? f (Re)d 2v 2 ? ? f (Re)
? d 2 ?v2
4 2



4-15

解: 堰顶水头 H (L) 、液体的密度 ? ( ML?3 ) 、重力加速度 g ( LT ?2 )三种
? 1 ?3 1 ? ? 量的量纲的行列式值是 ? ? 0 1 0 ? ? ?2 ? 0 ,所以选取堰顶水头 H 、液 ? 0 0 ?2 ? ? ?

体的密度 ? 、重力加速度 g 为基本量。根据题意可得流量的物理方程 为 F (qv , H ,? , g, ?, ?, ? ) ? 0 ,所以根据 ? 定理,用基本量表示的零量纲量 为
?1 ?
qv ? ? , ? 2 ? a2 b2 c2 , ? 3 ? a3 b3 c3 , ? 4 ? ? , b1 c1 H g ? H g ? H g ?
a1

根据物理方程量纲一致性原则,对四个无量纲量有:
L3T ?1 ? La1 ( LT ?2 )b1 (ML?3 )c1 ML?1T ?1 ? La2 (LT ?2 )b2 (ML?3 )c2 MT ?2 ? La3 ( LT ?2 )b3 (ML?3 )c3

所以有方程组
?3 ? a1 ? b1 ? 3c1 ??1 ? a2 ? b2 ? 3c2 ?0 ? a3 ? b3 ? 3c3 ? ,? ,? ? ?1 ? ?2b1 ??1 ? ?2b2 ? ?2 ? ?2b3 ?0 ? c ?1 ? c ?1 ? c 1 2 ? ? 3 ?

求解得:
3 5 ? ? ?a1 ? 2 ? a2 ? 2 ?a3 ? 2 ? ? 1 ? 1 ? ? ?b1 ? , ?b2 ? , ?b3 ? 1 , 2 ? 2 ? ? c ?1 ?c1 ? 0 ?c2 ? 1 ? 3 ? ? ? ?

所 以 零 量 纲 量 为 ?1 ?

qv H g
5 2 1 2

, ?2 ?

?
H g ?
3 2 1 2

?

?
H ( Hg ) ?
1 2

?

?
HV ?

?

1 , Re

?3 ?

?
H g?
2

?

?
H ( Hg ) ?

?

?
HV ?
2

?

1 ,?4 ? ? , We

所以流量的表达式为
qv ? ?1H g ? f (? 2 , ? 3 , ? 4 ) H g ? f (Re, We,? )H g ? f (Re, We,? )H 2 gH
5 2 1 2 5 2 1 2 5 2 1 2

解法二: 按照瑞利法写出流量的表达式: qv ? kH a ? a g a ? a ? a ? a ,
1 2 3 4 5 6

用基本量纲表示方程中的物理量:
L3T ?1 ? kLa1 (LT ?2 )a3 (ML?3 )a4 (ML?1T ?1 )a5 (MT ?2 )a6

对于 L: 对于 T: 对于 M:

3 ? a1 ? a3 ? 3a4 ? a5 ?1 ? ?2a3 ? a5 ? 2a6

a4 ? a5 ? a6 ? 0
1 2 1 2

求解方程可得: a1 ? (5 ? 3a5 ? 4a6 ) , a3 ? (1 ? a5 ? 2a6 ) , a4 ? ?a5 ? a6
qv ? kH
5 2 1 2
1 (5?3a5 ?4 a6 ) 2

? g
a2

1 (1?a5 ?2 a6 ) 2

? ? a ?a ? a ? a
5 6 5

6

? H g ? kH
? H 2g2 ?k
5 1

1 ( ?3a5 ?4 a6 ) 2

? g
a2

1 ( ? a5 ?2 a6 ) 2
6

? ? a ?a ? a ? a
5 6 5
5 5 6

6

?a
H

2

?a
g

1 (3a5 ? 4 a6 ) 2

1 ( a5 ? 2 a6 ) 2

?a ? a ?a

? H 2g2 ?k

5

1

?a
1

2

?a ?a g 2
6

6

H2

(3a5 ? 4 a6 )

1

( a5 ? 2 a6 )

?a ?a

5 5

4-17

解:叶轮直径 d 的基本量纲为 L,转速 n 的基本量纲为 T ?1 ,密度 ? 的
? 1 0 ?3 ? ? 基本量纲为 ML , 因为三个量的量纲的行列式值 ? ? ? ? 0 ?1 0 ? ? ? 1 ? 0 , ?0 0 1 ? ? ?
?3

所以,选取叶轮直径 d 、转速 n 、密度 ? 为基本量。根据题意可得功 率 P 的物理方程为 F ( P, d , b, n, H , ? , ? , g ) ? 0 , 所以根据 ? 定理,用三个基本量表示的零量纲量为
?1 ?
P b H ? g ,? 2 ? a2 b2 c2 ,? 3 ? a3 b3 c3 ,? 4 ? a4 b4 c4 ,? 5 ? a5 b5 c5 b1 c1 d n ? d n ? d n ? d n ? d n ?
a1

根据物理方程量纲一致性原则,对五个无量纲量:
MLT ?2 ? LT ?1 ? La1T ?b1 M c1 L?3c1 L ? La2 T ?b2 M c2 L?3c2 L ? La3 T ?b3 M c3 L?3c3 MLT ?2 ? L ? L?2 ? L?1T ? La4 T ?b4 M c4 L?3c4

LT ?2 ? La5 T ?b5 M c5 L?3c5

所以有方程组:
?1 ? a3 ? 3c3 ?1 ? a5 ? 3c5 ?1 ? c1 ?1 ? a2 ? 3c2 ?1 ? c4 ? ? ? ? ? ? 2 ? a1 ? 3c1 , ?0 ? ?3b2 , ?0 ? ?3b3 , ? ?1 ? a4 ? 3c4 , ? ?2 ? ?b5 ? ?3 ? ?b ?0 ? c ?0 ? c ?0 ? c ? ?1 ? ?b 1 2 4 ? ? 5 3 ? ? ?

求解得:
? a3 ? 1 ?a4 ? 2 ?a5 ? 1 ? a1 ? 5 ?a2 ? 1 ? ? ? ? ? ?b1 ? 3 , ?b2 ? 0 , ?b3 ? 0 , ?b4 ? 1 , ?b5 ? 2 ?c ? 1 ?c ? 0 ? c ? 0 ?c ? 1 ?c ? 0 ? 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5

所以
?1 ?
b H g P ? 1 ,? 2 ? ,?3 ? ,?4 ? 2 ? ,? 5 ? 2 d d dn d n? d n? Re
5 3

因为 ? 3? 5 ?

H g Hg 1 ? ? 2 为一无量纲数。 2 2 d dn (dn) Fr

所以 P ? ?1d 5n3 ? ? f ( ,

d d 2 n? dn d , )d 5n3 ? ? f ( , Re, Fr )d 5n3 ? b ? b gH

第五章作业 5-2 解 : 层流流动的速度分布公式为 v ? ? 速 为 v??
r02 ? r 2 d ( p ? ? gh) , 而管内*均流 4? dl

r02 d ( p ? ? gh) , 依 题 意 得 : 在 半 径 为 r 时 , v ? v , 即 8? dl

r02 ? r 2 d r0 2 d r02 ? r 2 r02 化简得 ,即 2(r02 ? r 2 ) ? r02 , ? ( p ? ? gh) ? ? ( p ? ? gh) , ? 4? dl 8? dl 4? 8?

所以, r ? 5-3

2 r0 。 2

解 : 查 表 得 : 10 ℃ 时 水 的 密 度 为 ? ? 9 9 9 . 7 k ,运动粘度为 ? g ?3m
? ? 1.306 ?10?6 m2 ? s?1 。因为湍流流动时 Re ?
Re? 33000 ?1.306 ?10?6 u? ? ? 2.155m ? s ?1 。 ?3 d 20 ?10
du

?

,所以

所以凝汽器中水的总流量为
n ?d2 400 ? (20 ?10?3 )2 mv ? ? ? ? u ? 999.7 ? ? ? 2.155 ? 135.36kg ? s?1 2 4 2 4

5-7 解: 流动的雷诺数为 Re ?
dv

?

?

1?10?2 ? 4 ? 1000 ? 2320 , 所以流动为层流。 4 ?10?5

所 以 沿程 损 失系数 ? ?
hf ? ?

64 64 ? , 所以 每 米管长 上 的沿 程 损失 为 Re 2000

L v2 64 1 42 ? ? ? ? 5.22m(流体柱) d 2 g 1000 1?10?2 2 ? 9.81

5-10 解:流速为 v ?
?
qv d2 ? 4 ? 0.095 ? 1.9353m ? s?1 ?3 2 ? ? (250 ?10 )
dv 250 ?10?3 ?1.9353 ? 483825 ? 2320 ,为湍流流 0.000001

4

流动的雷诺数 Re ? 动。

?

?

管子的相对粗糙度 ?
d

?

0.25 ? 0.001 , 250

查穆迪图得 ? ? 0.02 , 所以沿程损失为 h f ? ? 5-11 解:管中重油的流速为
300 4? 4qm 3600 v? ? ? ? 0.1929m ? s ?1 , ? 2 ?? d 2 ? ? 880 ? (25 ?10?3 )2 ? d 4 qm

L v2 300 1.93532 ? 0.02 ? ? ? 4.5815mH2O d 2g 250 ?10?3 2 ? 9.81

所以流动的雷诺数 Re ? 流动。

dv

?

?

25? 10?3 ? 0.1929 ? 192.9? 2320 ,为层流 0.000025

在压力油箱液面和喷油器前的截面处列伯努力方程 (若不考虑局 部损失) :

0?h?0 ?

p v2 ?0? ? h f ,所以 ?g 2g

p v2 v2 L v2 64 L v 2 ? h? ? hf ? h ? ?? ? h ? (1 ? ) ?g 2g 2g d 2g Re d 2 g
? 8 ? (1 ? 64 30 0.19292 ? ) ? 7.243(m重油柱) 192.9 25 ?10?3 2 ? 9.81

所以喷油器前重油的计时压差为 p ? 880 ? 9.81? 7.243 ? 62527.37Pa

5-12 解:管中流速为 v ?
?
qv d2 ? 4 ? 0.4 ? 10?6 ? 0.01415m ? s ?1 , ? ? 0.0062

4

6 ?10?3 ? 0.01415 ? 5.66 ? 2320 ,为层流流动。 所以流动的雷诺数为 Re ? ? ? 0.000015 dv

在压力油箱液面和输油管终端截面处列伯努力方程 (不计局部损失) :
0?h?0 ? 0?0? v2 ? hf , 2g

v2 v2 L v2 64 L v 2 所以 h ? ? h f ? ? ? ? (1 ? ) 2g 2g d 2g Re d 2 g
? (1 ? 64 5 0.014152 ? ) ? ? 0.09617m 5.66 6 ?10?3 2 ? 9.81

5-17 解:在两容器液面处列伯努力方程:
L v2 ,所以有 0 ? 0 ? H ? 0 ? 0 ? 0 ? hw , hw ? h f ? h j ? (? ? ? 1 ? ? 2 ) d 2g H ? hw ? (? L v2 30 v2 ? ?1 ? ? 2 ) ? (? ? 0.5 ? 1) ? 3 ,即 d 2g 30 ?10?2 2g

(100? ? 1.5)v2 ? 6 ? 9.81 ? 58.86 ,

假设流动处于层流,则 ? ? 式得: (100

64 64? 64 ? 0.069 0.0184 ? ? ? ,代入上 ?2 Re dv ? 30 ?10 ? 800 ? v v

0.0184 ? 1.5)v 2 ? 58.86 ,求解得: v ? 5.6808m ? s?1 v

30 ?10?2 ? 5.6808 ? 800 则相应的雷诺数为 Re ? ? ? 19759.3 ? 2320 ,为湍 ? 0.069

dv?

流,由于管子为光管,则 ? ?

0.3164 0.3164 ? ? 0.02669 , 0.25 Re 19759.30.25

所以代入式 (100? ? 1.5)v2 ? 6 ? 9.81 ? 58.86 ,可求出
v? 58.86 ? 3.757m ? s ?1 100 ? 0.02669 ? 1.5 dv?

30 ?10?2 ? 3.757 ? 800 则其相应的雷诺数为 Re ? 为湍 ? ? 13067.8 ? 2320 , ? 0.069

流,由于管子为光管,则 ? ?

0.3164 0.3164 ? ? 0.029593 ,所以代入式 0.25 Re 13067.80.25

(100? ? 1.5)v2 ? 6 ? 9.81 ? 58.86 ,可求出
v? 58.86 ? 3.633m ? s?1 100 ? 0.029593 ? 1.5 dv? ? 30 ?10?2 ? 3.633 ? 800 为湍 ? 12636.5 ? 2320 , 0.069

则其相应的雷诺数为 Re ?

?

流,由于管子为光管,则 ? ?

0.3164 0.3164 ? ? 0.029842 ,所以代入式 0.25 Re 12636.50.25

(100? ? 1.5)v2 ? 6 ? 9.81 ? 58.86 ,可求出
v? 58.86 ? 3.623m ? s?1 100 ? 0.029842 ? 1.5 dv? ? 30 ?10?2 ? 3.623 ? 800 为湍 ? 12601.7 ? 2320 , 0.069

则其相应的雷诺数为 Re ?

?

流,由于管子为光管,则 ? ?

0.3164 0.3164 ? ? 0.029863 ,所以代入式 0.25 Re 12601.7 0.25

(100? ? 1.5)v2 ? 6 ? 9.81 ? 58.86 ,可求出
v? 58.86 ? 3.622m ? s?1 100 ? 0.029863 ? 1.5

所 以 , 管 中 的 流 速 为 v ? 3.622m ? s?1 , 所 以 管 中 的 体 积 流 量 为
qv ?

?d2
4

v?

? ? (30 ?10?2 )2 ? 3.622
4

? 0.2560m3 ? s ?1


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